Les fonctions primitives ... résumé du cours

Les fonctions primitives

Notion de fonction primitive

définition

Soient $f$ et $F$ deux fonctions définit sur un intervalle $I$ telles que $F$ est dérivable sur $I$ et : $$ \forall x \in I: \: F'(x)=f(x)$$ on dit que :

• la fonction $f$ est la dérivée de $F$ sur $I$.
• la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

exemple

on a les exemples suivants:

1. la fonction $F(x)=x^2$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$.
2. la fonction $F(x)=5x+1$ est une primitive de $f(x)=5$ sur $\mathbb{R}$.
3. la fonction $F(x)=x^3$ est une primitive de $f(x)=3x^2$ sur $\mathbb{R}$.
4. la fonction $F(x)=sin(x)$ est une primitive de $f(x)=cos(x)$ sur $\mathbb{R}$.
5. la fonction $F(x)=\sqrt{x}$ est une primitive de $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $\mathbb{R}^*_+$.

remarque

Soit $ C $ une constante réelle c'est à dire $C \in \mathbb{R}$ .$\\$ Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors : $$ \left( F(x)+C \right)' = F'(x)+ C'=f(x)+0=f(x)$$ par conséquence la fonction $F+C$ est encore une primitive de $f$ sur $I$. On parle donc d'ensemble des primitives de la fonction $f$.

exemple

• la fonction $F(x)=sin(x)+55$ est une primitive de $f(x)=cos(x)$ sur $\mathbb{R}$.
• la fonction $F(x)=sin(x)-22$ est aussi une primitive de $f(x)=cos(x)$ sur $\mathbb{R}$.
• la fonction $F(x)=sin(x)+123$ est aussi une primitive de $f(x)=cos(x)$ sur $\mathbb{R}$.

définition

soit $F$ une fonction primitive de $f$ sur un intervalle $I$, l'ensemble: $$ \left\lbrace F +C / C \in \mathbb{R} \right\rbrace $$ est dit "ensemble des primitives" de la fonction $f$ sur $I$.

theoreme

soit $f$ et $g$ deux fonction numérique de fonction primitives $F$ et $G$ respectivement (sur un même intervalle $I$), alors:

• $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
• $\alpha .F$ est une primitive de $\alpha.f$ sur $I$.

pour calculer les fonction primitives on dispose du tableau suivant: \begin{array}{|c|c|c|} \hline f & F & I $\\$ \hline cos & sin+C & \mathbb{R} $\\$ \hline sin & -cos+C & \mathbb{R} $\\$ \hline a & ax +C & \mathbb{R} $\\$ \hline ax & \frac{1}{2}ax^2+C & \mathbb{R} $\\$ \hline ax^n \: / n\in \mathbb{N}& \frac{1}{n+1}ax^{n+1}+C & \mathbb{R} $\\$ \hline \frac{1}{2\sqrt{x}} & \sqrt{x}+C & \left] 0;+\infty\right[ $\\$ \hline \frac{-1}{x^2} & \frac{1}{x}+C & \mathbb{R}^* $\\$ \hline ax^r \: / r\in \mathbb{Q}^*-\lbrace-1\rbrace & \frac{1}{r+1}ax^{r+1}+C & \mathbb{R}^*_+ $\\$ \hline \end{array}

les fonctions primitives tableau 1

 le théorème suivant indique dans quel cas on ait l'existence d'une fonction primitive.

théorème

si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ alors elle admet une primitive $F$ sur cette intervalle. Parmi les règles de calcul de primitive on a : \begin{array}{|c|c|c|} \hline f & F & conditions $\\$ \hline u.u' & \frac{1}{2}u^2+C & . $\\$ \hline u^r.u' & \frac{1}{r+1}u^{r+1}+C & r \neq -1 \: et \: u > 0 $\\$ \hline \frac{-u'}{u^2} & \frac{1}{u}+C & u(x) \neq 0 \: \forall x\in I $\\$ \hline \frac{u}{2\sqrt{u}} & \sqrt{u}+C & u(x) >0 \: \forall x\in I$\\$ \hline \end{array}

les fonctions primitives tableau 2