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| Limites et Continuité |
Exercice 1
Évaluer les limites suivantes :
$$ \lim_{x \to 0^+ } \sqrt{x}sin(\frac{1}{\sqrt{x}}) \:;\: \lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2+1}-2x $$
$$ \lim_{x \to +\infty}\sqrt{4x^2+1}- x \:;\: \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{cos(x)-\sqrt{3}sin(x)}{x-\frac{\pi}{6}} $$
$$ \lim_{x \to 0}x^2cos(\frac{1}{x})+x \:;\: \lim_{x \to 1 } \frac{sin(3x-3)}{sin(x-1)}$$
Exercice 2
Soit $f$ la fonction numérique définit par :
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
f(x) &=& \frac{x^2+x-a}{x-2} \: (x > 2)\\
f(x) &=& \frac{2x+b}{3} \: (x\leq 2)
\end{array}
\right.
\]
Déterminer les deux nombres $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $x=2$.
Exercice 3
Déterminer l'image de l'intervalle $I$ par la fonction $f$ dans les cas suivants:
- $f(x)=5x+1 $ et $I=[2;5] $
- $f(x)=x^2+3 $ et $I=[2;+\infty[ $
- $f(x)= \frac{3x+1}{2x-1}$ et $I=]\frac{1}{2};+\infty $
Exercice 4
Soit $f$ la fonction définit sur $I=]\frac{3}{2};+\infty$ par: $$ f(x)=\frac{x+1}{2x-3} $$
- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- Déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y \in J$.
Exercice 5
Soit $g$ la fonction définit sur $I=]\frac{1}{4};+\infty[$ par: $$ f(x)=2x^2-x+1 $$
- Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- Déterminer $g^{-1}(y)$ pour tout $y \in J$.
Exercice 6
Soit $f$ la fonction définit sur $\mathbb{R}^+$ par: $$ f(x)=2+\sqrt[3]{x} $$
- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définit sur un intervalle $J$ à déterminer.
- Déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y \in J$.
- tracer $ \left( \mathcal{C}_f \right) $ et $ \left( \mathcal{C}_{f^{-1}} \right) $ dans un même repère orthonormé.
Exercice 7
Ordonner les nombres suivants dans un ordre croissant :
$$ \sqrt[12]{100};\: \sqrt[9]{80};\:\sqrt[4]{15};\:\sqrt[3]{28};\:\sqrt{13} $$
et puis :
$$ \sqrt[20]{253};\: \sqrt[15]{151};\:\sqrt[5]{23};\:\sqrt[10]{(24)^2} $$
Exercice 8
Évaluer les deux nombres suivants:
$$ A=\frac{\sqrt[4]{9}\sqrt{\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}}}{\sqrt[5]{81}.\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}}}}\; ; \; B= \frac{\sqrt[3]{4}\sqrt{8}\left( \sqrt[5]{\sqrt{2}}\right)^2 }{\sqrt{\sqrt[3]{4}}}$$
Exercice 9
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante:
$$ \sqrt{x^2-4}=x-2\sqrt{x^2-1} $$
Exercice 10
Calculer les limites suivantes:
$$ \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x} \:;\: \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{6-x}}{x-2} $$
$$ \lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1} $$
