Série d'exercices - L'ordre dans $\mathbb{R}$ - Tronc commun BIOF

ordre dans $\mathbb{R}$

Exercice 1

Comparer les nombres $a$ et $b$ dans les cas suivants:

1. $a=3\sqrt{3}$ et $b=2\sqrt{7}$.
2. $a=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}$ et $b=5\sqrt{2}-4\sqrt{3}$.
3. $a=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ et $b=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

Exercice 2

Comparer les nombres $a$ et $b$ dans les cas suivants:

1. $a=9-6x$ et $b=(x-3)^2$.
2. $a=\frac{1}{1+x^2}$ et $b=1-x^2$.

où $x$ est dans $\mathbb{R}$.

Exercice 3

Encadrer $Y$ dans les cas suivants:

1. $Y= x^2-2x+5 $ avec $ -1 \leq x \leq 1 $
2. $Y= x^2+x-\sqrt{x^2+1} $ avec $ -1 < x < 2 $
3. $Y= x^3+x^5+1 $ avec $ -1 < x < 3 $
4. $Y= -x^3+x^2-\frac{1}{2}x+1 $ avec $ -4 < x < 4 $

Exercice 4

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $ a > b > 0$, ordonner les nombres : $$\frac{a}{b} ;\:\frac{a}{b+1} ;\: \frac{a+1}{b+1} $$

Exercice 5

Comparer $A$ et $B$ avec $$ A=(a+b)^2 ;\: B=b^2+3a^2$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $ 0 < a < b$.

Exercice 6

évaluer les expressions suivantes:

• $ \vert 3-5 \vert + \vert 5-3 \vert + \vert (-3)(-2) \vert $
• $\vert -2-1 \vert + \vert 2-6 \vert - \vert 5-1 \vert - \vert -1-3\vert$
• $ \vert -7 \times 8\vert - \vert 7\times 8 \vert + \vert (-1)^2 \vert - \vert -1 \vert^2$

Exercice 7

Soit $-3 \leq x \leq 4$ et $-5 \leq y \leq 2$, encadrer: $$ x^2+y^2+4x-2y $$

Exercice 8

écrire les expressions suivantes sans valeur absolue.

• $A= \vert x^2+1 \vert -\vert x+3 \vert $
• $B=\vert x-1 \vert + \vert x-2 \vert$

Exercice 9

Résoudre dans $ \mathbb{R}$ les équations suivantes:

• $ \vert x+1 \vert = 2x-5 $
• $\vert x-1 \vert = \vert x+1 \vert $
• $\vert -x-4 \vert = -4$

Exercice 10

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls tes que :$x+y \geq 0$. Montrer que $$ \frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2} \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$

Exercice 11

Soient $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}^*_+$, montrer que : $$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}} \geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$$

Exercice 12

1. Soit $x \in \mathbb{R}$, montrer que $x^2-2x=(x-1)^2-1$.
2. dorénavant $x \in \left[ 1,3\right] $, montrer que $-1 \leq x^2-2x \leq 3$.
3. montrer que $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{x^2-2x+3} \leq \frac{3}{2}$.
4. en déduire que : $\vert \frac{3}{x^2-2x+3} -1 \vert \leq \frac{1}{2}$.

Exercice 13

Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $\vert x-2 \vert < \frac{3}{2} $ .

1. donner un encadrement de $x$.
2. monter que $\vert 2x-3 \vert < 7 $.
3. vérifier que $ 2x^2-7x+6 = (x-2)(2x-3) $.
4. en déduire que $ \vert 2x^2-7x+6 \vert < \frac{21}{2} $.
5. montrer que $\vert \frac{x-2}{2x+3} \vert < \frac{3}{8}$.