Devoir libre 1 - Limites et continuité - fonction arctan - racine n-iéme - fonction réciproque - TVI ...

Limites et continuité - fonction arctan - racine n-iéme - fonction réciproque - TVI ...

Exercice 0

Soit $f$ la fonction définie par: $f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-(1+a x)}{x^2}$, Où $a \in \mathbb{R}^*$.

1. Déterminer $D_f$.
2. Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $x_0=0$ ?

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \left\{\begin{array}{l}f(x)=2+\sqrt[3]{x^3-2 x^2} ; x \geq 2 \\ f(x)=\frac{4}{\pi} \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right) ; x < 2\end{array}\right.$$

1. Montrer que $f$ est continue au point $x_0=2$
2. Calculer $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$
3. Soit $g$ la restriction de $f$ sur $I=]-\infty, 2[$. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers $J$ à déterminer.
4. Calculer $g^{-1}(x)$, pour tout $x \in J$.

Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$, et $x_1, x_2, \ldots , x_{-n} $ des éléments distincts de $[a, b]$. Montrer qu'il existe un réel $c \in [a, b]$ tel que : $$ f(c)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) $$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ et $\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)=b$ et $ab < 0$.

1. Montrer que : $\left(\exists\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2\right) \quad f\left(x_0\right) \cdot f\left(y_0\right) < 0$
2. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
3. écrire ce résultat sous une forme générale.
4. Soit $P$ une fonction polynomiale de degré impair. Montrer que l'équation $P(x)=0$ admet au moins une solution réelle.
5. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$. Montrer que : $\exists c \in ] 0,1[: f(c)=\frac{\arctan (c)}{c-1}+\frac{1}{c}.$
6. Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, continue et (strictement) décroissante. Montrer que l'équation $f(x)=x$ a une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Exercice 4

Soit $n \in \mathbb{N}^*-\{1\}$ On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{n+1}-2 x^n+1$

1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0 ; \frac{2 n}{n+1}\right]$.
2. En déduire que $f\left(\frac{2 n}{n+1}\right) < 0$.
3. Montrer qu'il existe au moins un réel $\alpha \in] \frac{2 n}{n+1} ; 2[$ tel que $f(\alpha)=0$.
4. Vérifier que $\alpha^n=\frac{1}{2-\alpha}$.

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie par: $f(x)=\sqrt{x-E(x)}-x$

1. Déterminer $D$, le domaine de définition de $f$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.
$\\$ Soit $p$ un entier relatif.
3. Étudier la continuité de $f$ en $p$.
4. Étudier la continuité de $f$ sur $] p, p+1[$.
5. Montrer que: $(\forall x \in \mathbb{R})-x \leq f(x) \leq 1-x$
6. En déduire $\lim_{x \mapsto -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \mapsto +\infty} f(x)$

Exercice 6

Soit $f_m$ la fonction définie par: $$ \left\{\begin{array}{l} f_m(x)=\frac{\cos \left(\frac{2}{3} x\right)-\sqrt{3} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos 2 x} \text { si } x>0 \\ f_m(x)=x^2+m x+m+\frac{2 m+1}{x+1} \text { si } x \leq 0 \text { et } x \neq-1 \end{array}\right. $$ Où $m$ est un paramètre réel.

1. Determiner le domaine de définition de $f_m$.
2. Calculer: $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f_m(x)$ et $\lim _{x \rightarrow-\infty} f_m(x)$.
3. Déterminer $m$ pour que $f_m$ soit continue en $0$ .
4. Déterminer $m$ pour que $f_m$ soit prolongeable par continuité en $-1$.

Pour la correction des exercices visiter ma chaine Youtube https://youtu.be/E2DuBWJmG2o?si=363k7K4qdksAwoOb

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